<div dir="ltr">This is a fun physical model for Edwards curves I came up with, which can represent most of the elliptic curves we use for crypto that are related to the <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/Jacobi_elliptic_functions#Addition_theorems">Jacobi addition laws</a>.   I do not know of any relevance this has for crypto, but I like to have a physical model in my head when thinking about problems...<div><br></div><div>When d < 0, we get a 4-pointed star inscribed in the unit circle.  This picture from Wikipedia is accurate, except that it flipped the sign of d, so negate the signs of d and you will be less confused, because then it will match the article:</div><div><br></div><div><img src="cid:ii_15538a5525367a95" alt="Inline image 1" width="463" height="463"><br></div><div><br></div><div><br></div><div>These squished circles where d < 0 are entirely within the unit circle.  Place a unit hemisphere on top of it, and project the squished circle directly up onto the hemisphere.  Imagine that the resulting path is the track of a roller coaster.  At time t = 0, the roller coaster is moving at angular velocity w0, crossing the point (x, y, z) = (1, 0, 0).  w0 Is really just the speed at that point, but we need it to have units of 1/seconds for the units to work out.</div><div><br></div><div>Now assume that the track is frictionless, and that there is a bizarre force acting on the roller coaster.  For d == -1, the force pushes away from the Z-axis with strength equal to e^(w0*r), where r is the distance from the Z-axis, in other words, sqrt(x^2 + y^2).  Got it?  What happens when you set off the roller coaster at t = 0, with a speed of w0?</div><div><br></div><div>The roller coaster speeds around the track, moving faster near the corners of the star, and slower as it gets close to the Z-axis.  The speed is always w0/r, and the potential plus kinetic energy is constant.  In this model, the thing being added by the Edwards addition law is time.  Given the position at t1 and t2, we can use the addition law to compute the position at t1 + t2.</div><div><br></div><div>I kind of want to build an animated gif :></div><div><br></div><div>Bill</div></div>