<div dir="ltr"><div class="gmail_extra"><div class="gmail_quote">On Sat, Oct 24, 2015 at 2:16 AM, covariant <span dir="ltr"><<a href="mailto:covariant@i2pmail.org" target="_blank">covariant@i2pmail.org</a>></span> wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0px 0px 0px 0.8ex;border-left-width:1px;border-left-color:rgb(204,204,204);border-left-style:solid;padding-left:1ex"><span class=""><br>
</span>That's because it's not clear what you actually want to compute. You say<br>
you want an integral or a length, without actually defining what you<br>
mean by any of those two concepts.</blockquote><div><br></div><div>Actually, it all works out mathematically.  I'm just trying to show people a cool geometric interpretation of ECC.  I'm not claiming to have any new insight for cracking ECC.</div><div><br></div><div>You surely know this, but for others reading, generally algebraic expressions make sense mod p.  For example sqrt(2) is irrational, but since 3*3 == 2 mod 7, we can say sqrt(2) = 3 mod 7.  Similarly, i is imaginary, so how can it make sense mod 5?  Well, -1 == 2*2 mod 5, so clearly i == 2 mod 5.  Most people think we pick rational points on the curve for generators, when in fact, only X is  typically rational.  The point used in Ed25519 has an X coordinate of 4/5, but the Y coordinate, when mapped back to a regular Edwards curve, is both imaginary and irrational, but mod p, it's an integer.</div><div><br></div><div>Consider arc-lengths on the unit circle.  The equation is:<br></div><div><br></div><div>    arc-length(x) = integrate 1/sqrt(1 - t^2) dt from 0 to x.</div><div><br></div><div>This is the arcsin function, mapping rational x values to non-algebraic arc-lengths.  Did you know that arcsin(x) is an algebraic expression of integers, x and pi?  In fact, simply using uints such as degrees, which are fractions of pi makes arcsin(x) a regular algebraic expression of x, which makes sense mod p.</div><div><br></div><div>The same is true here.  In fact, you can do point addition on the Lemniscate using a ruler and compass, which is modulo arithmetic friendly.  I think I have defined everything correctly, or close to it.</div><div><br></div><div>I hope this geometric insight will be interesting to some people.  What I have not offered is any insight on how to speed up computing ECDLP, which is why I started with "Please _do_ continue to use ECC with confidence".</div><div><br></div><div>We know there is an algebraic expression for Alice's public key point (X, Y).  We know it corresponds to an algebraic expression for the arc-length on then Lemniscate, and that mod p, that expression is simply m when using units of the arc length of h.  Finding that expression is obviously equivalent to solving ECDLP in this case (d == -1).</div><div><br></div><div>I've simply transformed ECC for this case into another form.  I think it is a very interesting form, one where people can go, "So... we're really just adding arc-lengths mod p."</div><div><br></div><div>Bill </div></div></div></div>