<div dir="ltr"><div class="gmail_extra"><div class="gmail_quote">On Thu, Aug 13, 2015 at 4:26 PM, Viktor Dukhovni <span dir="ltr"><<a href="mailto:cryptography@dukhovni.org" target="_blank">cryptography@dukhovni.org</a>></span> wrote:<br><blockquote class="gmail_quote" style="margin:0 0 0 .8ex;border-left:1px #ccc solid;padding-left:1ex"><br>
Therefore, any proportionality between "n" and the "distance" of<br>
"nG" from some reference point (pick any continuous metric), fails<br>
for large enough "n".  Thus, before we even consider whether any<br>
of this applies to the discrete case, it seems clear that this must<br>
fail in the continuous case.<br>
<div class="HOEnZb"><div class="h5"><br>
--<br>
        Viktor.<br></div></div></blockquote><div><br></div><div>The power of visualization seems to be under-rated in group theory :)</div><div><br></div><div>Not only does all this work, it gives me a way to create new additive groups easily, which is something I've wanted to know how to do for a while now.  For example, here's a group I just came up with using this line integral stuff:</div><div><br></div><div><div>a @ b  = sqrt(((4a^2 + 1)^(3/2) + (4b^2 + 1)^(3/2))^(2/3) - 1)/2</div></div><div><br></div><div>Plug it into a spread sheet, and you'll see it works.  I created it by doing the line integral of 12x over the curve y = x^2.  If the line integral is called L(x), then the addition rule is simply Linv(L(a) + L(b)).  I'm not sure if the cube-root is friendly modulo a prime, but if it is, we could probably use this to do crypto :)</div><div><br></div><div>We can create groups on path or function using this technique.  The unit circle group is the simplest case, where point multiplication is simply angle addition.<br></div><div><br></div><div>Bill<br></div></div></div></div>