<div dir="ltr"><div class="gmail_extra">I simplified some of the math above.  For d == -1 (it's only slightly more complex for d != 1), the equation to integrate in the path from the origin to the elliptic curve point simplifies to:</div><div class="gmail_extra"><br></div><div class="gmail_extra">    sqrt(2)/sqrt(1 - x^4)<br></div><div class="gmail_extra"><br></div><div class="gmail_extra">The line integral simplifies to:</div><div class="gmail_extra"><br></div><div class="gmail_extra">    Sqrt[2] EllipticF[ArcSin[x], -1]<br></div><div class="gmail_extra"><br></div><div class="gmail_extra">Evaluating this equation at the first four points where the generator has x = 0.4:</div><div class="gmail_extra"><br></div><div class="gmail_extra"><div class="gmail_extra">path integral over 0 .. 1 = 1.85407, which is Sqrt[2] EllipticK[-1]</div></div><div class="gmail_extra"><div class="gmail_extra"><br></div><div class="gmail_extra"><font face="monospace, monospace">x               y               path integral ratio</font></div><div class="gmail_extra"><font face="monospace, monospace">0.4             0.8509629434    0.567149<span class="Apple-tab-span" style="white-space:pre"> </span></font></div><div class="gmail_extra"><font face="monospace, monospace">0.7699820705<span class="Apple-tab-span" style="white-space:pre">    </span>0.5252257314<span class="Apple-tab-span" style="white-space:pre">        </span>1.1343<span class="Apple-tab-span" style="white-space:pre">      </span>      2.0000035264</font></div><div class="gmail_extra"><font face="monospace, monospace">0.9884198756<span class="Apple-tab-span" style="white-space:pre">       </span>0.1079220526<span class="Apple-tab-span" style="white-space:pre">        </span>1.70145<span class="Apple-tab-span" style="white-space:pre">     </span>      3.0000052896</font></div><div class="gmail_extra"><font face="monospace, monospace">0.9175950827<span class="Apple-tab-span" style="white-space:pre">       </span>-0.2928953491<span class="Apple-tab-span" style="white-space:pre">       </span>2.26859<span class="Apple-tab-span" style="white-space:pre">     </span>      3.9999894208</font></div><div><br></div><div>Now, if I could just figure out how to evaluate sqrt(2)*EllipticF(arcsin(x), -1) mod p :)</div></div></div>