<div dir="ltr"><div class="gmail_extra">I took my geometry based attack further today and found some things I think are very cool.  In particular, in an Edwards curve with negative d (squished circle, not fat one), I set z = -sqrt(d)xy, so that the Edwards curve points map onto the unit sphere.  I found that when I add a small delta (like the point (0.0001, ~0), then measure the distance traversed on the sphere, it is always equal no matter what point I start from, once I divide by 1/sqrt(x^2 + y^2).</div><div class="gmail_extra"><br></div><div class="gmail_extra">I computed the line integral on the sphere from the Edwards curve origin (0, 1, 0) to an arbitrary point using Wolfram's awesome integration toolkit.  It resulted in a closed form solution, but unfortunately involves an Elliptic integral.  This was the only part that I can't compute using modular arithmetic.  Had it resulted in an equation that was modular arithmetic friendly, I think that might result in a significant break of elliptic curve crypto that can be mapped to Edwards curves.</div><div class="gmail_extra"><br></div><div class="gmail_extra">The idea would have been to find the modular distance from the origin of the generator point, and also of the user's publiic key point.  At that point, I think we've mapped the problem to regular modular arithmetic in one variable.  But... it didn't work.  Was fun, though :)</div><div class="gmail_extra"><br></div><div class="gmail_extra">I used Wolfram to evaluate the path integral for several multiples of the generator point, and indeed, they are clearly multiples of a constant.</div><div class="gmail_extra"><br></div><div class="gmail_extra">Bill</div><div class="gmail_extra"><br></div><div class="gmail_extra">Bill</div></div>